【曖昧度関数】filtered ambiguity functionと畳み込みフーリエ変換

今日もテキストを読んで意味不明な点をメモしていく．

解析信号 $z(t)$ のsmoothed IAF $R_z(t,\tau)$ は以下で表される．

$R_z(t, \tau) = G(t,\tau) \underset{t}{*} K_z(t,\tau)$

ここでIAFを $t \to \nu$ でフーリエ変換したものが曖昧度関数 $A_z(\nu , \tau)$ である．（IAFを $\tau \to f$ でフーリエ変換するとWVD $W_z(t,f)$ になる）

smoothed IAFを $t \to \nu$ でフーリエ変換したものをfiltered ambiguity function ${\mathcal A_z}(\nu , \tau)$ と言うことにする．

${\mathcal A_z}(\nu , \tau) = \int R_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu t}dt$

$f(x)$ と $g(x)$ の畳み込み $f(x) * g(x) = \int f(x-u)g(u)du$ で表されるので，
$\begin{eqnarray*} {\mathcal A_z}(\nu , \tau) &=& \int \left( \int G(t-u, \tau) K_z(u, \tau) du \right) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu t}dt\\ &=& \int K_z(u, \tau) \left( \int G(t-u, \tau) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu t}dt \right) du \cdots (*)\\ \end{eqnarray*}$
$t-u=y$ とおくと， $t=u+y$ ， $dt = dy$
$\begin{eqnarray*} (*) &=& \int K_z(u, \tau) \left( \int G(y, \tau) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu (u+y)}dy \right) du\\ &=& \int K_z(u, \tau) \left( \int G(y, \tau) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu u} \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu y}dy \right) du\\ &=& \left( \int K_z(u, \tau) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu u} du \right) \left( \int G(y, \tau) \mathrm{e}^{-j2 \pi \nu y}dy \right) \\ &=& A_z(\nu, \tau) g_z(\nu, \tau) \end{eqnarray*}$