Spectral delay(SD)　導入編

久々のブログ執筆．

今回はテキストを $1000000000$ 回読んでも分からなかった部分をとりあえずブログに書いておく．

周波数 $f_i$ の解析信号 $z(t)$ のスペクトル $Z(f)$ を考える．

解析信号なので正の周波数のみ考えればよいし，周波数は $f_i$ のみなので，上のような図になる．
大きさ $A$ とすると， $\delta$ 関数を用いて以下のように数式で表せる．

$Z(f)=A \delta (f-f_i)$

これを逆フーリエ変換すると，
$z(t)= A \mathrm{e}^{j2 \pi f_i t}$
となる．

次に，インパルス信号 $z(t)=a \delta (t-\tau _d)$ を考えると，

フーリエ変換すると，
$Z(f)=a \mathrm{e}^{-j2 \pi f \tau _d}$

位相 $\theta (f)={\rm{arg}} Z(f) = -2 \pi f \tau _d + {\rm{arg}} a$

$f$ で微分すると，
$\tau _d = - \frac{1}{2 \pi} \theta ' (f)$

右辺が変数 $f$ の関数なので，左辺も同じように書くと， $\tau _d(f)$ である．
これをSpectral delay(SD)と言うことにする．

ここで，瞬時周波数IFは瞬時位相 $\phi(t)$ を $t$ で微分して得られるものであった．
$f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\phi '(t)$

$t$ から $f$ を求めたものがIFであり， $f$ から $t$ を求めたものがSDであり，両者は似たようなものである．

例題
$z(t) = A \mathrm{exp} \left( j 2 \pi \left( f_c [ t -t_0 ] + \frac{ \alpha + j \beta } {2} [ t - t_0 ] ^2 \right) \right)$
を考える．

いきなり意味の分からない数式が出てきたが，式変形をしてみる．
$\begin{eqnarray*} z(t) &=& A \mathrm{exp} \left( j 2 \pi \left( f_c [ t -t_0 ] + \frac{ \alpha } {2} [ t - t_0 ] ^2 \right) - \pi \beta [ t - t_0 ] ^2 \right) \\ &=& A \mathrm{exp} \left( j 2 \pi \left( f_c [ t -t_0 ] + \frac{ \alpha } {2} [ t - t_0 ] ^2 \right) \right) \mathrm{exp} \left( - \pi \beta [ t - t_0 ] ^2 \right) \\ &=& A \mathrm{exp} \left( - \pi \beta [ t - t_0 ] ^2 \right) \mathrm{exp} \left( j 2 \pi \left( f_c [ t -t_0 ] + \frac{ \alpha } {2} [ t - t_0 ] ^2 \right) \right) \end{eqnarray*}$

$a(t) = A \mathrm{exp} \left( - \pi \beta [ t - t_0 ] ^2 \right)$ ， $\phi (t) = 2 \pi \left( f_c [ t -t_0 ] + \frac{ \alpha } {2} [ t - t_0 ] ^2 \right)$ として，
$z(t) = a(t) \mathrm{exp} \left( j \phi (t) \right)$

となる．
振幅 $a(t) = A \mathrm{exp} \left( - \pi \beta [ t - t_0 ] ^2 \right)$ であるので，時間 $t_0$ で振幅最大で時間経過により振幅は $0$ へと収束し，また，瞬時位相 $\phi (t) = 2 \pi \left( f_c [ t -t_0 ] + \frac{ \alpha } {2} [ t - t_0 ] ^2 \right)$ であるので， $\alpha$ で線形に変調する信号であることが分かる．