ウィグナービレ分布のラグとドップラーを考える

ラグ，ドップラー？

$z(t)$ のウィグナービレ分布 $W_z(t, f)$ は以下で定義される．
$W_z(t, f)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\$
$K_z(t, \tau)=z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)$

また，次のようにも書ける．
$W_z(t, f)=\int k_z(\nu, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\$
$k_z(\nu, f)=Z\left(f+\frac{\nu}{2}\right)Z^*\left(f-\frac{\nu}{2}\right)$

ここで $\tau$ ， $\nu$ はそれぞれラグ，ドップラーであるが，こいつら何じゃらほい？となったので，少し考察することにした．なお，分かったのは計算上確かに出てくるねってところまでで，本質的な部分はよく分からなかった．以下，ふわふわとした考察を述べる．

情報の信頼性については保証しません．

フーリエ変換の復習

まず，おさらいとしてフーリエ変換について説明する．
フーリエ変換は以下のように定義される．
$S(f)=\int s(t) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f t}dt\\$

時間信号 $s(t)$ の周波数スペクトルが $S(f)$ である．

$S(f)$ から $s(t)$ を求める場合は以下に定義する逆フーリエ変換を行う．
$s(t)=\int S(f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f t}df\\$

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まとめるとこんな感じ．

ウィグナービレ分布のラグを考える

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ウィグナービレ分布は信号の周波数スペクトルの時間変化を横軸を時間，縦軸を周波数，強度を色の濃淡などで表現したものである．これを斜めに見てみる．2次元で考えると強度は色の濃淡でしか表せなかったが，斜めに見ると強度はz軸で表現でき，周波数スペクトルが見える．

ここである時間 $t_0$ における周波数スペクトル $Q_0(f)$ を考える．
$Q_0(f)=W_z(t0, f)$
フーリエ変換の復習を思い出すと，周波数スペクトルを逆フーリエ変換することで，時間信号が取り出せる．この周波数スペクトル $Q_0(f)$ を逆フーリエ変換すると時間信号的なものが取り出せそうである．ここで時間 $t$ はすでに使われているため，新たに $\tau$ という変数を用意してみる． $Q_0(f)$ を $\tau$ ← $f$ で逆フーリエ変換すると，
$q_0(\tau)=\int Q_0(f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df$
となる．この式において $t$ は出てきていない点に注目． $t$ は変数であるが，固定されているわけである．

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最後に $t_0$ を $-\infty \sim \infty$ で動かす（一つ一つの $t$ に対してそれぞれ逆フーリエ変換するわけである）と，以下の式が求まる．
$K_z(t, \tau)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df$

以上のようにして時間信号的な何かが求められ，これを表現するために使われる変数 $\tau$ がラグと呼ばれるものである．

$K_z(t, \tau)$ は $z(t)$ のinstantaneous autocorrelation function(IAF)と呼ばれたりする．

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まとめるとこんな感じ．

ウィグナービレ分布のドップラーを考える

ラグの場合は $t$ を固定して考えた．今度は $f$ を固定して考える．

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またウィグナービレ分布を斜めに見てみる．

ここである周波数 $f_0$ における時間信号 $p_0(f)$ を考える．
$p_0(t)=W_z(t, f_0)$

この時間信号 $p_0(t)$ をフーリエ変換すると周波数スペクトル的なものが取り出せそうである．ここで周波数 $f$ はすでに使われているため，新たに $\nu$ という変数を用意してみる． $p_0(t)$ を $t$ → $\nu$ でフーリエ変換すると，
$P_0(\nu)=\int p_0(f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt$

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最後に $f_0$ を $-\infty \sim \infty$ で動かす（一つ一つの $f$ に対してそれぞれフーリエ変換するわけである）と，以下の式が求まる．
$k_z(\nu, f)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt$

以上のようにしてスペクトル的な何かが求められ，これを表現するために使われる変数 $\nu$ がドップラーと呼ばれるものである．

$k_z(\nu, f)$ は $z(t)$ のspectral correlation function(SCF)と呼ばれたりする．

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まとめるとこんな感じ．

曖昧度関数

ウィグナービレ分布 $W_z(t, f)$ を $\tau$ ← $f$ で逆フーリエ変換すると，
$K_z(t, \tau)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df$
ウィグナービレ分布 $W_z(t, f)$ を $t$ → $\nu$ でフーリエ変換すると，
$k_z(\nu, f)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt$
となった．

それでは $K_z(t, \tau)$ をさらに $t$ → $\nu$ でフーリエ変換してみよう．
$\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt \\ =\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t} df dt \\ =\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi (f \tau - \nu t)} df dt\\ =A_z(\nu, \tau)$

同様に， $k_z(\nu, f)$ を $\tau$ ← $f$ で逆フーリエ変換すると，
$\int k_z(\nu, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df \\ =\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau} dt df \\ =\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi (\nu t - f \tau)} dt df\\ =A_z(\nu, \tau)$

となり，計算の順番が違う（先に $t$ を固定するか $f$ を固定するかの違い）だけなので，結果は等しくなる．

ここで $A_z(\nu, \tau)$ は曖昧度関数（ambiguity function）と呼ばれる．
書籍によっては不確定性関数と呼ばれることもあるが，どっちがメジャーかは知らない．

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まとめるとこんな感じ．

ところでambiguity functionでwikipediaを調べると出てくるが，

不確定性関数 - Wikipedia
不確定性関数（ふかくていせいかんすう、英: Ambiguity function）とは、レーダーで対象物までの距離・速度を捉えた信号を処理すると、真の距離・速度の値以外の虚像値を伴っていることを表現する関数。狭義には、距離・速度に対する事後確率の関数。一般に、マッチドフィルタ(通常、パルス圧縮レーダ等で用いられる)の受信信号に対する影響を意味する、遅延時間とドップラー周波数の2変数関数である。

？？？？？？？？？？？？？？？？？
記事を読んでも全然意味が分からない．

私は雰囲気で信号処理をやっている．