メモ：周波数シフト計算

72ページより計算メモ．

ぜんぜんわからん・・・
とりあえず計算メモだけ残しておく．

$\begin{eqnarray*} k_z(\nu,f)&=&\int W_z(t,f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t} dt\\ &=&\int \left( \int z(t+\tau/2)z^*(t-\tau/2) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t} dt\\ &=& \int \int z(t+\tau/2)z^*(t-\tau/2)\mathrm{e}^{-j 2 \pi (f \tau + \nu t)} dt d\tau \end{eqnarray*}$

$u = t+\frac{\tau}{2}=U(t, \tau)$ ， $v=t-\frac{\tau}{2}=V(t,\tau)$ と置くと，

$t=\frac{1}{2}(u+v)=T(u,v)$ ， $\tau=u-v=\mathcal{T}(u,v)$

$\begin{eqnarray*} dtd\tau &=& \mathrm{ABS} \left( \mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} \partial T / \partial u & \partial T / \partial v \\ \partial \mathcal{T} / \partial u & \partial \mathcal{T} / \partial v \\ \end{array} \right) \right) dudv\\ &=& \mathrm{ABS} \left( \mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} 1/2 & 1/2 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right) \right) dudv\\ &=& \mathrm{ABS} \left( -1/2 - 1/2 \right)dudv\\ &=& \mathrm{ABS} \left( -1 \right)dudv\\ &=& dudv\ \end{eqnarray*}$
↑この辺かなり微妙である．ヤコビアン行列が云々らしいが・・・？

よって，

$\begin{eqnarray*} k_z(\nu,f)&=& \int \int z(t+\tau/2)z^*(t-\tau/2)\mathrm{e}^{-j 2 \pi (f \tau + \nu t)} dt d\tau \\ &=& \int \int z(u)z^*(v)\mathrm{e}^{-j 2 \pi (f (u-v)+ \nu \frac{1}{2}(u+v))} dudv \\ &=& \int \int z(u)z^*(v)\mathrm{e}^{-j 2 \pi (fu-fv+ \frac{1}{2}\nu u + \frac{1}{2} \nu v)} dudv \\ &=& \int \int z(u)z^*(v)\mathrm{e}^{-j 2 \pi (f + \frac{1}{2}\nu)u } \mathrm{e}^{j 2 \pi (f - \frac{1}{2}\nu)v } dudv \\ &=& \int z(u)\mathrm{e}^{-j 2 \pi (f + \frac{1}{2}\nu)u } du \int z^*(v)\mathrm{e}^{j 2 \pi (f - \frac{1}{2}\nu)v } dv \\ &=& Z \left( f+\frac{\nu}{2} \right) Z^* \left( f-\frac{\nu}{2} \right) \end{eqnarray*}$

よって，
$W_z(t,f)=\int Z \left( f+\frac{\nu}{2} \right) Z^* \left( f-\frac{\nu}{2} \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t} d\nu$

$\nu$ を周波数シフト（またはドップラー）と言うそうだが，何がどうなってるのかぜんぜんわからん

ウィグナー分布の求め方は $2$ 通りあって，
1.時間ドメインで相関関数的なやつ（instantaneous autocorrelation function, IAF） $K_z(t,f)$ を求めてフーリエ変換
2.周波数ドメインで相関関数的なやつ（spectral correlation function, SCF） $k_z(\nu,f)$ を求めて逆フーリエ変換（本記事の話）
みたいな感じかな・・・・・・？