2信号のウィグナービレ分布を求めよ

ウィグナービレ分布

2信号のウィグナービレ分布は？

yuri-processing-club.hatenablog.com
この記事では
信号が1つ( $s(t)=\cos(2 \pi f_c t)$ )のウィグナービレ分布を求め，
$W_z(t,f) = \delta(f-f_c)$
となった．

それでは $2$ 信号ではどうなるだろうか．

問題

$s(t)=\cos(2 \pi f_1 t) + \cos(2 \pi f_2 t)$ のウィグナービレ分布を求めよ．

解法

まず $s(t)$ を解析信号 $z(t)$ に変換する．
$z(t)=\mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$

また，
$z^*(t)=\mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t}$

次にSignal Kernelを求める．

$z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\\ =\left( \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t +\frac{\tau}{2} \right)} + \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t +\frac{\tau}{2} \right)} \right) \left(\mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t -\frac{\tau}{2} \right)} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t -\frac{\tau}{2} \right)}\right)\\ = \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right) \tau}$

よって，ウィグナービレ分布は，

$\begin{eqnarray*} W_z(t,f) &=& \int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\ &=& \int \left( \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right) \tau} \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\ &=& \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ && +\int \left( 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right) \tau} \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau \\ &&+ 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \int \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right) \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \delta(f-f_1) + \delta(f-f_2) + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right) \end{eqnarray*}$
となり計算終了である．

答え

$s(t)=\cos(2 \pi f_1 t) + \cos(2 \pi f_2 t)$ のウィグナービレ分布は，
$W_z(t,f) = \delta(f-f_1) + \delta(f-f_2) + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)$

クロス項

$\delta(f-f_1)$ 及び $\delta(f-f_2)$ は期待通りの項である． $2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)$ は本来存在しないスペクトルであり，これをクロス項と言う．クロス項は $2$ 信号の中間の位置に出ると言われているが，計算結果を見ると，確かに $f_1$ 及び $f_2$ の中間の周波数 $\frac{f_1+f_2}{2}$ の部分に発生していることが分かる．また， $\cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)$ を見ると分かるが，クロス項は時間方向に周波数 $f_2-f_1$ で振動している．