振幅一定，周波数一定の2信号のウィグナービレ分布を求めよ

ウィグナービレ分布とは？

ウィグナービレ分布は時間周波数解析手法の一つであり，
$W_z(t, f)=\int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\$
と定義される．

また，Signal Kernel $K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$ と定義すると，
$W_z(t, f)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\$
とも書ける．

問題

$z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$ のウィグナービレ分布を求めよ．

解法

yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事より，
$z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$ のSignal Kernelは，
$K_z(t,\tau) = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}$

$\begin{eqnarray*} &&W_z(t, f)\\ &=&\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \int \left( A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \int A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + \int A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &&+ \int 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& A_1^2 \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + A_2^2 \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &&+ 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \int \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& A_1^2 \delta (f-f_1) + A_2^2 \delta (f-f_2) + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2}\right) \end{eqnarray*}$
となり計算終了である．

解答

$z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$ のウィグナービレ分布は

$W_z(t,f) = A_1^2 \delta (f-f_1) + A_2^2 \delta (f-f_2) + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2}\right)$

クロス項

$A_1^2 \delta(f-f_1)$ 及び $A_2^2 \delta(f-f_2)$ は期待通りの項である． $2 A_1 A_2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)$ は本来存在しないスペクトルであり，これをクロス項と言う．クロス項は $2$ 信号の中間の位置に出ると言われているが，計算結果を見ると，確かに $f_1$ 及び $f_2$ の中間の周波数 $\frac{f_1+f_2}{2}$ の部分に発生していることが分かる．また， $\cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)$ を見ると分かるが，クロス項は時間方向に周波数 $f_2-f_1$ で振動している．
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図にするとこんな感じだろう．