振幅一定，周波数一定の2信号のSignal Kernelを求めよ

Signal Kernelとは？

$K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$
と定義され，ウィグナービレ分布などに用いられる．

問題

$z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$ のSignal Kernelを求めよ．

解法

$z^*(t)= A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t}$

Signal Kernelは
$\begin{eqnarray*} K_z(t, \tau) &=& z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)\\ &=& \left( A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} \right) \left( A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} \right) \\ &=&A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ && + A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ &=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \end{eqnarray*}$
となり，計算終了である．
さらに詳しい途中式は下で書くので，気になる方はスクロールされたし．

解答

$z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$ のSignal Kernel $K_z(t,\tau)$ は
$K_z(t,\tau) = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}$

詳しい途中式

$\begin{eqnarray*} K_z(t, \tau) &=&A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ && + A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ &=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \end{eqnarray*}$
ここの部分は計算を省略したので，詳しく書く．
項ごとに計算する．

第1項

$\begin{eqnarray*} A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} &=& A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }\\ &=& A_1 A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }\\ &=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} \end{eqnarray*}$

(なお， $A_1 A_1 = A_1^2$ ， $\mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t}=1$ ， $\mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } = \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau}$ である）

第2項

$A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}$ は上の計算で $A_1 \to A_2$ ， $f_1 \to f_2$ とすれば後は全く同じ計算である．
$\begin{eqnarray*} A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} &=& A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} \end{eqnarray*}$

第3項

$\begin{eqnarray*} A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}&=& A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }\\ &=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }\\ &=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \end{eqnarray*}$

第4項

$\begin{eqnarray*} A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}&=& A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} } A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }\\ &=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }\\ &=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \end{eqnarray*}$

第3項+第4項

第3項と第4項を統合する．
$A_1 A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} +A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \\ =A_1 A_2 \ \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \left( \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} + \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \right)\\ =A_1 A_2 \ \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \left( \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \right) \ \ \cdots (*)\\$

ここでオイラーの公式 $\cos \theta = \frac{\mathrm{e}^{j \theta} + \mathrm{e}^{-j \theta}}{2} \iff \mathrm{e}^{j \theta} + \mathrm{e}^{-j \theta} = 2 \cos \theta$ より，
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} &=& 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \end{eqnarray*}$

よって，
$\begin{eqnarray*} (*) &=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)\\ &=& 2 A_1 A_2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \end{eqnarray*}$

第1項+第2項+第3項+第4項

以上の結果から
$\begin{eqnarray*} K_z(t, \tau) &=&A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ && + A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ &=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \end{eqnarray*}$
が導かれる．