yProcessingClub

すみません、許してください

ネコネココーデたいらんくん

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久々のVカツ。
ネコミミ
・ネコハンド
・尻尾
・チョーカー
を実装した。

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キバも実装した。
たいらんくんの顔は固定のため口を開けることが出来ず、しかしキバを見せたい。
正しい位置にキバを配置するとキバが見えないか、または下唇を貫通してしまう。
苦肉の策でキバを斜めにした。正面から見ると期待した見た目となるのでこれで良し。

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肉球はしっかりと立体で作っている。

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ツイッターに投稿。
良い評価をいただいて、まんぞく。







こっちは以前投稿したツイート。
ツイッターの民は社畜ネタが大好き。ぼくも大好き。

なお、仕事については6月は土日出勤したり深夜3時まで残業したりしててマジでキツかったが、今月は毎日4時間残業なのでそれほどキツくない。このとおり、Vカツ出来る程度にはメンタルゲージも回復している。

働き方改革とやらが4月より始まったらしいが、弊社には関係無いっぽい。

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転職の機運が高まってきた。





   

ガールズ&たいらんくん

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*1

この世のすべてが憎いちゃん風のたいらんくん。

ガルパンを見てたらこの画像を作っていたことを思い出したので、ブログに貼り付けることにした。









なお、当写真は防衛大の開校祭にて撮影したものである。

yuri-processing-club.hatenablog.com


「あおざくら」は防衛大が舞台の漫画である。
防衛大に入学した主人公が先輩のしごきに耐えながら学生生活を頑張るという内容。
とっても面白いのでオススメ。
なお、漫画で描かれているような厳しいスパルタ指導は実際にあったらしく、ベッドメイキングがちょろっと出来ていないだけでベッドが投げ飛ばされたりシーツがめちゃくちゃにされたそうである(いわゆる"台風が来た"状態)。
最近はいじめ問題がマスコミに騒がれたのもあり、そういうのは無くなったとか何とか。
今1年生に聞くと「先輩は全然怖くない」そうである。そういう時代である。

*1:画像を正しく説明するとたいらんくん&パンツァーでは?

【ネタバレ感想】ガルパン最終章2話を見てきた


ガルパン最終章の2話を見てきた。

ツイッターで無限に感想をツイートしたいのだが、ネタバレはしたら駄目だし、ツイッターアカウントはVTuberに転用したのであまりVTuberに関係ないことを呟くのもアレ(1年近くVTuberらしい活動はしていないが、そういうところは気にするタイプなのである)なのでブログに垂れ流す。

さて、本日はあいにくの天気であったが、2話の後半も天気が悪かったので一体感があって(?)良かった。

上映時間は1時間だが、2時間レベルの充実感だった。
仕事の疲れが一瞬で吹っ飛んだ。


ガルパンという作品を見ていていつも思うのは、隊長の器のでかさである。

隊長の中でも、格が違うと思うのはBC自由のマリー様である。
肝が据わっている角谷杏とカリスマ性抜群のカチューシャを足して2で割ったような、そういう感じ。
そして今回の押安のケンカを体を張って止めるシーンで完全にファンになってしまった。

BC学園との戦いは割りと早めに終了し、むしろ2話のメインは知波単戦であった。
知波単はPVなどでは全く出てこなかった(はず)ので、完全に予想外。
ネタバレを見ずに2話を楽しむことが出来て本当に良かった。

新入りのサメさんがやられるのは仕方なしだが、主力のレオポンがやられてしまったのは非常に痛い。

知波単が"転進"でなく"撤退"を宣言して突撃馬鹿の校風と決別をするシーンは完全に主人公側にしか見えなかった。
成長劇である。
そして知波単を沼にぶち落として崖の上から狙い撃つ大洗は悪い敵である。
沼に落とされても確か一両も撃破されることがなかったと思うが、これは知波単の主人公補正か!?
大洗、そこは少しは撃破してくれよ!



その他
・「すまなかった安藤くん・・・」「分かってくれればいいんだ押田くん・・・」
 くん付けで呼ぶ公式設定がお出しされて、業界(どこの業界?)が騒然となっているとかいないとか。
 冬コミでの同人誌が楽しみである。
・押田が思ったよりもぽんこつであった。
 ガルパンスレから得た情報では「重要な会議ではマリー様は(押田ではなく)安藤を連れて行く」らしく、納得である。
 (その情報、ソースはどこだろ?パンフレットかな(買ったが未読))
・くねくね(にゅるにゅる)マリー様がとても可愛かった。
 ツイッターで「くねくね マリー様」で検索すると同じことを言っているオタクを大量に観測した。
 くねくねした後カンフーばりに立ち上がる。フォークよりも重いものは持ったことなさそうだが抜群の身体能力である。
 沼に入ったそど子が後ろから来た4号戦車を避けて飛び乗る(そして麻子の目の前に着地し、ここで我々は濃厚なそどまこ成分を補充できるわけである。)シーンもそど子のジャンプ力がすごかった。
 惑星ガールズパンツァーは重力が弱いのか!?
・マリー様のFPS視点での映像がかなり長めにあって大満足。迫力があってテンションあがる。
 FPS視点、確か劇場版ラストが初出だと思ってたけど、そういえばテレビ版1話アバンもそうだった。
 でもテレビ版1話のは戦車視点(?)で西住隊長の視点ではなかったので、やっぱり劇場版ラストが初出か。
・BC自由が歌いながら次々と撃破されていくのはゾクゾク来た。
 (玉葱の歌というらしい)(歌、早くCDになってほしい)
 (この場面、レオポンが執拗に追いかけてめっちゃ怖いらしいのだがそこはあまり意識出来なかった。
  次回はそこに注目して観ることにする。)
・安藤がマリー様をかばって撃破されるシーン、「後は任せた!」みたいに手で合図する感じがエモ。
・マリー様が最後やられるシーン、貴族がギロチンにかけられるところの暗喩か!?
・安藤の中の人、津田ちゃんだったと後から気づいた。耳が終わっているのでぜんぜん気付かなかった。
 次回はそこに着目して観たい。
 前述したが耳が終わっており更に声優は全然詳しくないのだが、あのキャラとこのキャラの声優が実は同じ、みたいな情報は凄くすきなのである。
 脱線するが、最近だとガヴリールドロップアウトのサターニャとアイドルマスター緒方智絵里の中の人が同じだと知ってとてもテンション上がった。
 ガルパンだと福田の声である。
 こういう情報を知ってしまうと緒方智絵里も福田も全部サターニャが喋っているように聞こえてしまい、とても良いのである。
・押田のケーキの食べ方が独特(上からではなく脇から食べる。下図参照。)で可愛かった。そんな食べ方、ある?

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図 押田のスイーツの食べ方

 インターネットでは「BC自由のモアイ像」とかそういう呼ばれ方でミーム化しつつあるとかないとか。

・生徒会がビラを作りたがるのは桃ちゃん家の文房具店を潤わせるのが目的・・・?と、
 (桃ちゃん家の貧乏設定を差し引いても)ちょっと良く思わないお気持ちが発生した。
・サメさんがやられて「海賊旗が目立ってしまってやられた、次は旗は心の中だけに掲げる」などと言って反省し、
 歴女チームがうんうん頷きながら「われわれも通った道だな!」などと後方彼氏面?してたシーンが劇場で一番笑いが起きた。
・麻子の声が違う(中の人が演技を忘れてる、声が高め)という感想をネットで見かけたが、私はその辺は違和感なかった。
 今度見る時はそこを意識して見ようと思う。

本日すでに2回も見たのだが、来週また見に行くことに決めた。
来週の休みが楽しみである。休日出勤が入らないよう神に祈っている。

2信号のウィグナービレ分布を求めよ(一般化)


107-108ページから解説.




yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事ではz(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のウィグナービレ分布を求めた.

今回は一般化して,z(t)=z_1(t)+z_2(t)のウィグナービレ分布を求めてみる.

問題

z(t)=z_1(t)+z_2(t)のウィグナービレ分布を求めよ.


解法

まずSignal Kernel, Instantaneous Autocorrelation Function(IAF) K_z(t, \tau) を求める.


\begin{eqnarray*}
K_z(t, \tau)&=&z \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z^* \left( t-\frac{\tau}{2} \right) \\
&=& \left( z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) + z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) \right) \left( z^*_1 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) + z^*_2 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) \right)\\
&=& z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_1 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) + z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_2 \left(t-\frac{\tau}{2} \right)\\
&& + z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_2 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) + z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_1 \left(t-\frac{\tau}{2} \right)\\
&=& K_{z_1}(t, \tau) + K_{z_2}(t, \tau) + K_{{z_1}{z_2}}(t, \tau)  + K_{{z_2}{z_1}}(t, \tau) 
\end{eqnarray*}

この時点で K_{z_1}(t, \tau)及び K_{z_1}(t, \tau)は信号成分,K_{{z_1}{z_2}}(t, \tau)及びK_{{z_2}{z_1}}(t, \tau)はクロス成分であることが分かる.

ウィグナービレ分布W_z(t,f)K_z(t, \tau)\tau \to fフーリエ変換することで求められる.

\begin{eqnarray*}
W_z(t, f)&=& \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_z(t, \tau) \}\\
&=& \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_1}(t, \tau) \} + \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_2}(t, \tau) \} \\
&&+ \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_1 z_2}(t, \tau) \} + \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_2 z_1}(t, \tau) \}\\
&=& W_{z_1}(t, f) + W_{z_2}(t, f) + W_{z_1 z_2}(t, f) + W_{z_2 z_1}(t, f)
\end{eqnarray*}


ここで終わってもいいと思うが,クロス項であるW_{z_1 z_2}(t, f)W_{z_2 z_1}(t, f)をまとめてみる.

積分\infty-\inftyを省略せずに書く.
W_{z_1 z_2}(t, f)=\int ^{\infty} _{-\infty} z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z_2 ^* \left( t-\frac{\tau}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau
W_{z_2 z_1}(t, f)=\int ^{\infty} _{-\infty} z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z_1 ^* \left( t-\frac{\tau}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau

次にW_{z_2 z_1}(t, f)複素共役を取ると,

\begin{eqnarray*}
[ W_{z_2 z_1}(t, f) ]^* &=& \int ^{\infty} _{-\infty} z^*_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z_1 \left( t-\frac{\tau}{2} \right)\mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}d\tau\\
\end{eqnarray*}

\tau = - \muと置くと,積分範囲は-\infty \sim \tau \sim \inftyから\infty \sim \mu \sim -\inftyd\mu = - d\tauとなるので,

\begin{eqnarray*}
[ W_{z_2 z_1}(t, f) ]^* &=& - \int ^{-\infty} _{\infty} z^*_2 \left(t-\frac{\mu}{2} \right)z_1 \left( t+\frac{\mu}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \mu}d\mu\\
&=& \int ^{\infty} _{-\infty} z^*_2 \left(t-\frac{\mu}{2} \right)z_1 \left( t+\frac{\mu}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \mu}d\mu\\
&=& W_{z_1 z_2}(t, f)
\end{eqnarray*}

よって,
{\rm{Re}} \left( W_{z_2 z_1}(t, f) \right) = {\rm{Re} } \left( W_{z_1 z_2}(t, f) \right)
{\rm{Im}} \left( W_{z_2 z_1}(t, f) \right) = - {\rm{Im}}\left( W_{z_1 z_2}(t, f) \right)


以上より,

\begin{eqnarray*}
W_{z_1 z_2}(t, f) + W_{z_2 z_1}(t, f)&=& 2  {\rm{Re}}\left( W_{z_1 z_2}(t, f) \right)
\end{eqnarray*}



解答

z(t)=z_1(t)+z_2(t)のウィグナービレ分布は
W_z(t, f) = W_{z_1}(t, f) + W_{z_2}(t, f) +2  {\rm{Re}}\left( W_{z_1 z_2}(t, f) \right)

ウィグナービレ分布のラグとドップラーを考える

ラグ,ドップラー?

z(t)のウィグナービレ分布W_z(t, f)は以下で定義される.

W_z(t, f)=\int  K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\

K_z(t, \tau)=z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)


また,次のようにも書ける.

W_z(t, f)=\int  k_z(\nu, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\

k_z(\nu, f)=Z\left(f+\frac{\nu}{2}\right)Z^*\left(f-\frac{\nu}{2}\right)

ここで\tau\nuはそれぞれラグ,ドップラーであるが,こいつら何じゃらほい?となったので,少し考察することにした.なお,分かったのは計算上確かに出てくるねってところまでで,本質的な部分はよく分からなかった.以下,ふわふわとした考察を述べる.

情報の信頼性については保証しません.



フーリエ変換の復習

まず,おさらいとしてフーリエ変換について説明する.
フーリエ変換は以下のように定義される.

S(f)=\int s(t) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f t}dt\\

時間信号s(t)周波数スペクトルS(f)である.

S(f)からs(t)を求める場合は以下に定義する逆フーリエ変換を行う.

s(t)=\int S(f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f t}df\\

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まとめるとこんな感じ.




ウィグナービレ分布のラグを考える

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ウィグナービレ分布は信号の周波数スペクトルの時間変化を横軸を時間,縦軸を周波数,強度を色の濃淡などで表現したものである.これを斜めに見てみる.2次元で考えると強度は色の濃淡でしか表せなかったが,斜めに見ると強度はz軸で表現でき,周波数スペクトルが見える.

ここである時間t_0における周波数スペクトルQ_0(f)を考える.
Q_0(f)=W_z(t0, f)
フーリエ変換の復習を思い出すと,周波数スペクトルを逆フーリエ変換することで,時間信号が取り出せる.この周波数スペクトルQ_0(f)を逆フーリエ変換すると時間信号的なものが取り出せそうである.ここで時間tはすでに使われているため,新たに\tauという変数を用意してみる.Q_0(f)\taufで逆フーリエ変換すると,
q_0(\tau)=\int Q_0(f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df
となる.この式においてtは出てきていない点に注目.tは変数であるが,固定されているわけである.

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最後にt_0-\infty \sim \inftyで動かす(一つ一つのtに対してそれぞれ逆フーリエ変換するわけである)と,以下の式が求まる.
K_z(t, \tau)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df

以上のようにして時間信号的な何かが求められ,これを表現するために使われる変数\tauがラグと呼ばれるものである.

K_z(t, \tau)z(t)instantaneous autocorrelation function(IAF)と呼ばれたりする.


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まとめるとこんな感じ.





ウィグナービレ分布のドップラーを考える

ラグの場合はtを固定して考えた.今度はfを固定して考える.

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またウィグナービレ分布を斜めに見てみる.

ここである周波数f_0における時間信号p_0(f)を考える.
p_0(t)=W_z(t, f_0)

この時間信号p_0(t)フーリエ変換すると周波数スペクトル的なものが取り出せそうである.ここで周波数fはすでに使われているため,新たに\nuという変数を用意してみる.p_0(t)t\nuフーリエ変換すると,
P_0(\nu)=\int p_0(f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt

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最後にf_0-\infty \sim \inftyで動かす(一つ一つのfに対してそれぞれフーリエ変換するわけである)と,以下の式が求まる.
k_z(\nu, f)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt

以上のようにしてスペクトル的な何かが求められ,これを表現するために使われる変数\nuがドップラーと呼ばれるものである.

k_z(\nu, f)z(t)spectral correlation function(SCF)と呼ばれたりする.



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まとめるとこんな感じ.





曖昧度関数

ウィグナービレ分布W_z(t, f)\taufで逆フーリエ変換すると,
K_z(t, \tau)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df
ウィグナービレ分布W_z(t, f)t\nuフーリエ変換すると,
k_z(\nu, f)=\int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt
となった.

それではK_z(t, \tau)をさらにt\nuフーリエ変換してみよう.

\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t}dt \\
=\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t} df dt \\
=\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi (f \tau - \nu t)} df dt\\
=A_z(\nu, \tau)

同様に,k_z(\nu, f)\taufで逆フーリエ変換すると,

\int k_z(\nu, f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}df \\
=\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi \nu t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau} dt df \\
=\int \int W_z(t, f) \mathrm{e}^{-j 2 \pi (\nu t - f \tau)} dt df\\
=A_z(\nu, \tau)

となり,計算の順番が違う(先にtを固定するかfを固定するかの違い)だけなので,結果は等しくなる.

ここでA_z(\nu, \tau)曖昧度関数(ambiguity function)と呼ばれる.
書籍によっては不確定性関数と呼ばれることもあるが,どっちがメジャーかは知らない.


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まとめるとこんな感じ.



ところでambiguity functionでwikipediaを調べると出てくるが,

不確定性関数 - Wikipedia
不確定性関数(ふかくていせいかんすう、英: Ambiguity function)とは、レーダーで対象物までの距離・速度を捉えた信号を処理すると、真の距離・速度の値以外の虚像値を伴っていることを表現する関数。狭義には、距離・速度に対する事後確率の関数。 一般に、マッチドフィルタ(通常、パルス圧縮レーダ等で用いられる)の受信信号に対する影響を意味する、遅延時間とドップラー周波数の2変数関数である。

?????????????????
記事を読んでも全然意味が分からない.



私は雰囲気で信号処理をやっている.

LFM信号のウィグナー分布を求めよ



yuri-processing-club.hatenablog.com
以前の記事ではs(t)= \cos \left( 2 \pi  f_c t  \right)のウィグナー分布を求めた.
これは周波数がf_cで一定の場合であった.

今回は周波数が変調する場合を考える.




問題

s(t)=A \cos \left( 2 \pi \left( f_0 t + \frac{\alpha}{2}t^2 \right) \right)
のウィグナー分布を求めよ.





解法

Signal Kernel K_s(t,\tau)=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)を求める.
まずs\left(t+\frac{\tau}{2}\right)を求める.


\begin{eqnarray*}
s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) &=& A \cos  2 \pi \left( f_0 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)  + \frac{\alpha}{2} \left( t + \frac{\tau}{2} \right) ^2 \right)\\
&=& A \cos  2 \pi \left( f_0 t + f_0 \frac{\tau}{2} + \frac{\alpha}{2}  t^2 +  \frac{\alpha}{2}  \tau t +  \frac{\alpha}{2} \frac{\tau ^2}{4} \right)\\
&=& A \cos  2 \pi \left( \left(  \frac{\alpha}{2} \frac{\tau ^2}{4} + f_0 t + \frac{\alpha}{2}  t^2 \right) + \left( f_0 \frac{\tau}{2} + \frac{\alpha}{2}  \tau t \right) \right) \\
&=& A \cos  2 \pi \left( \frac{  \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 }{2} +  \frac{ \left( f_0 + \alpha t \right) \tau }{2} \right) \\
\end{eqnarray*}

同様にして,

\begin{eqnarray*}
s\left(t-\frac{\tau}{2}\right) &=& A \cos  2 \pi \left( \frac{  \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 }{2} - \frac{ \left( f_0 + \alpha t \right) \tau }{2} \right) \\
\end{eqnarray*}

ここで三角関数の和積の定理(と言うらしい)によると

 \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\\
\iff \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{\cos x + \cos y}{2}
これを用いて,


\begin{eqnarray*}
K_s(t,\tau)&=&s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\\
&=& A^2 \frac{\cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right)  + \cos 2 \pi \left( f_0  + \alpha t \right)\tau}{2}\\
&=&  \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi \left( f_0 + \alpha  t \right)\tau + \frac{A^2}{2} \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) \\
&=&  \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi f_i(t) \tau + \frac{A^2}{2} \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) 
\end{eqnarray*}

ここでf_i(t)= f_0 + \alpha  tである.


よって,ウィグナー分布は,

\begin{eqnarray*}
\mathcal{W}_s (t, f) &=& \int K_s(t,\tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& \frac{A^2}{4} \delta \left( f - f_i(t)\right) + \frac{A^2}{4} \delta \left( f + f_i(t)\right)\\
&& +  \frac{A^2}{2} \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) \right]\\
\end{eqnarray*}
となり,計算終了である.

ここで \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cdot \right]\tauに関するフーリエ変換である.これ以上計算するのは今の自分の能力ではむーりぃなので,後日再挑戦する.




クロス項

 \frac{A^2}{2} \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) \right]はクロス項(本来信号に無い成分)である.

クロス項の形だが,おそらくだけど,\cos 2 \pi \frac{\alpha \tau^2}{4}の部分はガウス関数的なやつなので,これのフーリエ変換ガウス関数的なやつになり,\cos 2 \pi \left( 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right)の部分も合わせて考えると,クロス項は時間変化によって形が変化するようなガウス関数的なやつになると思われる・・・?

上でも話したが,ここの計算は後日再挑戦する.

ウィグナービレ分布と曖昧度関数とクロス項抑制

クロス項とは?

(時間-周波数解析における)クロス項とは,信号が無い部分に出てしまっているスペクトルのことを指しているようである.つまりノイズである.分析結果のSN比向上のためにクロス項抑制が課題となっている.



振幅一定,周波数一定の2信号のウィグナービレ分布と曖昧度関数

yuri-processing-club.hatenablog.com
yuri-processing-club.hatenablog.com
より,

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}

ウィグナービレ分布は
W_z(t,f) = A_1^2 \delta (f-f_1) + A_2^2 \delta (f-f_2) + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta  \left( f - \frac{f_1+f_2}{2}\right)

曖昧度関数は
A_z(\nu, \tau) = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \delta (\nu) + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)

であった.



ウィグナービレ分布のグラフ

同信号のウィグナービレ分布は下図となる.
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ウィグナービレ分布では,クロス項は信号と信号の間に発生することが分かる.



曖昧度関数のグラフ

曖昧度関数のグラフを描く.複素数となっていてこのままではグラフを描くのは無理なので,絶対値を取って,
A_1^2  \delta (\nu) + A_2^2  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)
のグラフを描いてみると,下のようになる.
f:id:Yuri-Processing-Club:20181116182204p:plain
曖昧度関数では,信号は原点を通り,クロス項は原点を通らないことが分かる.





Ambiguity domain and (t, f) domain

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ウィグナービレ分布と曖昧度関数の信号とクロス項の位置関係はこんな感じ.




クロス項抑制のためには?

(t, f) domainで考えると

クロス項は信号と信号の間に発生するので,クロス項抑制のためには信号と信号の間をカットすれば良いのだが,信号が未知の場合はどれが信号か分からないのでどうすればよいのか分からない.

Ambiguity domainで考えると

クロス項は原点を通らないので,クロス項抑制のためには原点を通らない信号はカットしてしまえばよい.(または原点付近のみを残してそれ以外は捨てる)


このように,クロス項抑制においてはAmbiguity domainで処理すると良いっぽい.

なお,「(t, f) domainではクロス項抑制はどうすればよいのか分からない」と書いたが,(t, f) domainではクロス項は振動していることが分かる.よって,(t, f) domainでクロス項を抑制する場合はローパスフィルタをかけると良いっぽい.ギザギザ,シャギシャギしているのをsmoothingする.この辺の話を一般化したのがコーエンクラスだそうだが・・・?