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すみません、許してください

LFM信号のウィグナー分布を求めよ



yuri-processing-club.hatenablog.com
以前の記事ではs(t)= \cos \left( 2 \pi  f_c t  \right)のウィグナー分布を求めた.
これは周波数がf_cで一定の場合であった.

今回は周波数が変調する場合を考える.




問題

s(t)=A \cos \left( 2 \pi \left( f_0 t + \frac{\alpha}{2}t^2 \right) \right)
のウィグナー分布を求めよ.





解法

Signal Kernel K_s(t,\tau)=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)を求める.
まずs\left(t+\frac{\tau}{2}\right)を求める.


\begin{eqnarray*}
s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) &=& A \cos  2 \pi \left( f_0 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)  + \frac{\alpha}{2} \left( t + \frac{\tau}{2} \right) ^2 \right)\\
&=& A \cos  2 \pi \left( f_0 t + f_0 \frac{\tau}{2} + \frac{\alpha}{2}  t^2 +  \frac{\alpha}{2}  \tau t +  \frac{\alpha}{2} \frac{\tau ^2}{4} \right)\\
&=& A \cos  2 \pi \left( \left(  \frac{\alpha}{2} \frac{\tau ^2}{4} + f_0 t + \frac{\alpha}{2}  t^2 \right) + \left( f_0 \frac{\tau}{2} + \frac{\alpha}{2}  \tau t \right) \right) \\
&=& A \cos  2 \pi \left( \frac{  \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 }{2} +  \frac{ \left( f_0 + \alpha t \right) \tau }{2} \right) \\
\end{eqnarray*}

同様にして,

\begin{eqnarray*}
s\left(t-\frac{\tau}{2}\right) &=& A \cos  2 \pi \left( \frac{  \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 }{2} - \frac{ \left( f_0 + \alpha t \right) \tau }{2} \right) \\
\end{eqnarray*}

ここで三角関数の和積の定理(と言うらしい)によると

 \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\\
\iff \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{\cos x + \cos y}{2}
これを用いて,


\begin{eqnarray*}
K_s(t,\tau)&=&s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\\
&=& A^2 \frac{\cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right)  + \cos 2 \pi \left( f_0  + \alpha t \right)\tau}{2}\\
&=&  \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi \left( f_0 + \alpha  t \right)\tau + \frac{A^2}{2} \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) \\
&=&  \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi f_i(t) \tau + \frac{A^2}{2} \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) 
\end{eqnarray*}

ここでf_i(t)= f_0 + \alpha  tである.


よって,ウィグナー分布は,

\begin{eqnarray*}
\mathcal{W}_s (t, f) &=& \int K_s(t,\tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& \frac{A^2}{4} \delta \left( f - f_i(t)\right) + \frac{A^2}{4} \delta \left( f + f_i(t)\right)\\
&& +  \frac{A^2}{2} \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) \right]\\
\end{eqnarray*}
となり,計算終了である.

ここで \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cdot \right]\tauに関するフーリエ変換である.これ以上計算するのは今の自分の能力ではむーりぃなので,後日再挑戦する.




クロス項

 \frac{A^2}{2} \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cos  2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right) \right]はクロス項(本来信号に無い成分)である.

クロス項の形だが,おそらくだけど,\cos 2 \pi \frac{\alpha \tau^2}{4}の部分はガウス関数的なやつなので,これのフーリエ変換ガウス関数的なやつになり,\cos 2 \pi \left( 2 f_0 t + \alpha  t^2 \right)の部分も合わせて考えると,クロス項は時間変化によって形が変化するようなガウス関数的なやつになると思われる・・・?

上でも話したが,ここの計算は後日再挑戦する.

ウィグナービレ分布と曖昧度関数とクロス項抑制

クロス項とは?

(時間-周波数解析における)クロス項とは,信号が無い部分に出てしまっているスペクトルのことを指しているようである.つまりノイズである.分析結果のSN比向上のためにクロス項抑制が課題となっている.



振幅一定,周波数一定の2信号のウィグナービレ分布と曖昧度関数

yuri-processing-club.hatenablog.com
yuri-processing-club.hatenablog.com
より,

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}

ウィグナービレ分布は
W_z(t,f) = A_1^2 \delta (f-f_1) + A_2^2 \delta (f-f_2) + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta  \left( f - \frac{f_1+f_2}{2}\right)

曖昧度関数は
A_z(\nu, \tau) = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \delta (\nu) + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)

であった.



ウィグナービレ分布のグラフ

同信号のウィグナービレ分布は下図となる.
f:id:Yuri-Processing-Club:20181115161108p:plain
ウィグナービレ分布では,クロス項は信号と信号の間に発生することが分かる.



曖昧度関数のグラフ

曖昧度関数のグラフを描く.複素数となっていてこのままではグラフを描くのは無理なので,絶対値を取って,
A_1^2  \delta (\nu) + A_2^2  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)
のグラフを描いてみると,下のようになる.
f:id:Yuri-Processing-Club:20181116182204p:plain
曖昧度関数では,信号は原点を通り,クロス項は原点を通らないことが分かる.





Ambiguity domain and (t, f) domain

f:id:Yuri-Processing-Club:20181116181906p:plain
ウィグナービレ分布と曖昧度関数の信号とクロス項の位置関係はこんな感じ.




クロス項抑制のためには?

(t, f) domainで考えると

クロス項は信号と信号の間に発生するので,クロス項抑制のためには信号と信号の間をカットすれば良いのだが,信号が未知の場合はどれが信号か分からないのでどうすればよいのか分からない.

Ambiguity domainで考えると

クロス項は原点を通らないので,クロス項抑制のためには原点を通らない信号はカットしてしまえばよい.(または原点付近のみを残してそれ以外は捨てる)


このように,クロス項抑制においてはAmbiguity domainで処理すると良いっぽい.

なお,「(t, f) domainではクロス項抑制はどうすればよいのか分からない」と書いたが,(t, f) domainではクロス項は振動していることが分かる.よって,(t, f) domainでクロス項を抑制する場合はローパスフィルタをかけると良いっぽい.ギザギザ,シャギシャギしているのをsmoothingする.この辺の話を一般化したのがコーエンクラスだそうだが・・・?

振幅一定,周波数一定の2信号の曖昧度関数を求めよ

曖昧度関数とは?

曖昧度関数(Ambiguity function,不確定性関数)はウィグナービレ分布に似た形の式である.

A_z(\nu, \tau) =\int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
と定義される.

また,Signal Kernel K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)を用いて,

A_z(\nu, \tau)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
とも書ける.


ウィグナービレ分布

W_z(t, f)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
と比較すると,
Signal Kernel K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)
t \to \nuで逆フーリエ変換するのが曖昧度関数
\tau \to fフーリエ変換するのがウィグナービレ分布
である.

\tau\nuはそれぞれ時間的,周波数的なナニカであり,
これらをlag(or time shift),doppler(or frequency shift)と言う.


問題

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}の曖昧度関数を求めよ.



解法

yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事より,
z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のSignal Kernelは,
K_z(t,\tau) =  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}



\begin{eqnarray*}
&&A_z(\nu, \tau)\\
&=&\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&=& \int \left( A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&=&  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \int \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \int \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&&+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \int \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \delta (\nu) + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)\\
\end{eqnarray*}
となり計算終了である.



解答

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}の曖昧度関数は

A_z(\nu, \tau) = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \delta (\nu) + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)



曖昧度関数のグラフ

曖昧度関数のグラフを描く.複素数となっていてこのままではグラフを描くのは無理なので,絶対値を取って,
A_1^2  \delta (\nu) + A_2^2  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)
のグラフを描いてみると,下のようになる.
f:id:Yuri-Processing-Club:20181116182204p:plain

曖昧度関数では,信号は原点を通り,クロス項は原点を通らないことが分かる.

振幅一定,周波数一定の2信号のウィグナービレ分布を求めよ

ウィグナービレ分布とは?

ウィグナービレ分布は時間周波数解析手法の一つであり,

W_z(t, f)=\int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
と定義される.

また,Signal Kernel K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)と定義すると,

W_z(t, f)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
とも書ける.


問題

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のウィグナービレ分布を求めよ.



解法

yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事より,
z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のSignal Kernelは,
K_z(t,\tau) =  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}



\begin{eqnarray*}
&&W_z(t, f)\\
&=&\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& \int \left( A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& \int  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + \int  A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&&+ \int 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& A_1^2 \int   \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + A_2^2 \int   \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&&+ 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \int  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& A_1^2 \delta (f-f_1) + A_2^2 \delta (f-f_2) + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta  \left( f - \frac{f_1+f_2}{2}\right)
\end{eqnarray*}
となり計算終了である.



解答

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のウィグナービレ分布は

W_z(t,f) = A_1^2 \delta (f-f_1) + A_2^2 \delta (f-f_2) + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \delta  \left( f - \frac{f_1+f_2}{2}\right)



クロス項

 A_1^2 \delta(f-f_1)及び A_2^2 \delta(f-f_2)は期待通りの項である.2 A_1 A_2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)  \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)は本来存在しないスペクトルであり,これをクロス項と言う.クロス項は2信号の中間の位置に出ると言われているが,計算結果を見ると,確かにf_1及びf_2の中間の周波数\frac{f_1+f_2}{2}の部分に発生していることが分かる.また,\cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)を見ると分かるが,クロス項は時間方向に周波数f_2-f_1で振動している.
f:id:Yuri-Processing-Club:20181115161108p:plain
図にするとこんな感じだろう.

振幅一定,周波数一定の2信号のSignal Kernelを求めよ

Signal Kernelとは?

K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)
と定義され,ウィグナービレ分布などに用いられる.


問題

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のSignal Kernelを求めよ.



解法

z^*(t)= A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t}


Signal Kernelは

\begin{eqnarray*}
K_z(t, \tau) &=& z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)\\
&=& \left( A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} \right) \left( A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} \right) \\
&=&A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\
&& + A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\
&=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}
\end{eqnarray*}
となり,計算終了である.
さらに詳しい途中式は下で書くので,気になる方はスクロールされたし.




解答

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のSignal Kernel K_z(t,\tau)
K_z(t,\tau) =  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}




詳しい途中式


\begin{eqnarray*}
K_z(t, \tau) &=&A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\
&& + A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\
&=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}
\end{eqnarray*}
ここの部分は計算を省略したので,詳しく書く.
項ごとに計算する.

第1項


\begin{eqnarray*}
A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}
&=& A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }  A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }\\
&=& A_1 A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }\\
&=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau}
\end{eqnarray*}

(なお,A_1 A_1 = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t}=1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } = \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \tau}である)

第2項

A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}は上の計算でA_1 \to A_2f_1 \to f_2とすれば後は全く同じ計算である.

\begin{eqnarray*}
A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}
&=& A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau}
\end{eqnarray*}


第3項


\begin{eqnarray*}
A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}&=&
A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }  A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }\\
&=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t}  \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }\\
&=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} 
\end{eqnarray*}

第4項


\begin{eqnarray*}
 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}&=&
A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }  A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} }\\
&=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}  \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \frac{\tau}{2} } \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \frac{\tau}{2} }\\
&=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} 
\end{eqnarray*}

第3項+第4項

第3項と第4項を統合する.

A_1 A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} +A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \\
=A_1 A_2 \ \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \left(  \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} + \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \right)\\
=A_1 A_2 \ \mathrm{e}^{j 2 \pi \frac{f_1 + f_2}{2}\tau} \left(  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} \right) \ \ \cdots (*)\\

ここでオイラーの公式 \cos \theta = \frac{\mathrm{e}^{j \theta} + \mathrm{e}^{-j \theta}}{2} \iff \mathrm{e}^{j \theta} + \mathrm{e}^{-j \theta} = 2 \cos \theta より,

\begin{eqnarray*}
\mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} &=& 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)
\end{eqnarray*}

よって,

\begin{eqnarray*}
(*) &=& A_1 A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t} 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)\\
&=& 2 A_1 A_2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(f_2 - f_1 \right)t}
\end{eqnarray*}


第1項+第2項+第3項+第4項

以上の結果から

\begin{eqnarray*}
K_z(t, \tau) &=&A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\
&& + A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_2 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} A_1 \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\
&=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}
\end{eqnarray*}
が導かれる.

2信号のウィグナービレ分布を求めよ

ウィグナービレ分布


2信号のウィグナービレ分布は?

yuri-processing-club.hatenablog.com
この記事では
信号が1つ(s(t)=\cos(2 \pi f_c t))のウィグナービレ分布を求め,
W_z(t,f) = \delta(f-f_c)
となった.

それでは2信号ではどうなるだろうか.


問題

s(t)=\cos(2 \pi f_1 t) + \cos(2 \pi f_2 t)のウィグナービレ分布を求めよ.



解法

まずs(t)を解析信号z(t)に変換する.
z(t)=\mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}

また,
z^*(t)=\mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 t}

次にSignal Kernelを求める.


 z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\\
=\left( \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 \left( t +\frac{\tau}{2} \right)} + \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \left( t +\frac{\tau}{2} \right)} \right) \left(\mathrm{e}^{-j 2 \pi f_1 \left( t -\frac{\tau}{2} \right)} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_2 \left( t -\frac{\tau}{2} \right)}\right)\\
= \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} +  \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right)   \tau}


よって,ウィグナービレ分布は,


\begin{eqnarray*}
W_z(t,f) &=& \int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)  \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\
&=& \int \left( \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} +  \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau} + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left(  \frac{f_1+f_2}{2} \right)   \tau}  \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\
&=& \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau +  \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&& +\int \left( 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right)   \tau} \right)  \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau +  \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 \tau}\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau \\
&&+  2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)  \int  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2} \right)   \tau}   \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
&=& \delta(f-f_1) + \delta(f-f_2) + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)  \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)
\end{eqnarray*}
となり計算終了である.



答え

s(t)=\cos(2 \pi f_1 t) + \cos(2 \pi f_2 t)のウィグナービレ分布は,
W_z(t,f) = \delta(f-f_1) + \delta(f-f_2) + 2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)  \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)




クロス項

 \delta(f-f_1)及び\delta(f-f_2)は期待通りの項である.2 \cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)  \delta \left( f - \frac{f_1+f_2}{2} \right)は本来存在しないスペクトルであり,これをクロス項と言う.クロス項は2信号の中間の位置に出ると言われているが,計算結果を見ると,確かにf_1及びf_2の中間の周波数\frac{f_1+f_2}{2}の部分に発生していることが分かる.また,\cos \left( 2 \pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right)を見ると分かるが,クロス項は時間方向に周波数f_2-f_1で振動している.



図解

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ウィグナービレ分布を図にするとこんな感じだろう(多分).

AM変調信号のウィグナービレ分布

今回も引き続き情報の精度については自信が無い
メモとしてブログに残しておく.

yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事で,z(t)=A(t)\mathrm{e}^{j \phi (t)}のウィグナービレ分布は

W_z(t,f) = \mathcal{W}_A(t, f-f_i(t))
になることを計算で確かめた.

本記事ではこれの意味を考えていく.



f:id:Yuri-Processing-Club:20181114193536p:plain
周波数一定(f_0)の信号をf_cで変調しよう.



f:id:Yuri-Processing-Club:20181114193459p:plain
スペクトルで見ると,このようにf_cだけ平行移動する形となる.

この例では元の信号の周波数f_0も搬送波f_cも時間変化しない.




f:id:Yuri-Processing-Club:20181114193558p:plain
時間周波数平面で書き直してみるとこんな感じ.周波数の時間変化は無いのでグラフの傾きは0である.




次にA(t)の周波数が時間変化する信号を考える.
搬送波周波数は一定なので,
f:id:Yuri-Processing-Club:20181114193824p:plain
同じようにf_cだけ平行移動した形となる.



次にA(t)f_cも変調する場合を考える.
f:id:Yuri-Processing-Club:20181114194006p:plain
ある時点t_1におけるもとの信号の周波数\pm f(t_1)はその時点での搬送波の周波数f_c(t_1)だけずれるので,変調後の周波数f'=f_c(t_1) \pm f(t_1)




f:id:Yuri-Processing-Club:20181114200201p:plain
時間-周波数平面W(t,f)で考えると,変調後のある点W_z(t_1,f_1)は,変調前はf_c(t_1)だけ下にあった.つまり変調前は\mathcal{W}_A(t_1,f_1-f_c(t_1))の位置にあった.

変調する搬送波周波数f_c(t)を瞬時周波数f_i(t)に書き直して,W_z(t,f) = \mathcal{W}_A(t, f-f_i(t))である.



振幅A(t)を瞬時周波数f_i(t)を使ってAM変調した信号のウィグナービレ分布W_zは,f_i(t)A(t)のウィグナー分布 \mathcal{W}_Aを使って表せることが分かる.
若干煙に巻いた部分はあるが,何となくの解釈はこんな感じでよいかもしれないし,よくないかもしれない.