条件付き確率についてのメモ

はじめに
具体例
まとめ

はじめに

条件付き確率とは以下のようなものである．
$P(A|B)$ ：事象 $B$ が起きたという条件における事象 $A$ が起きる確率
↑
なんにも分からん

$P(A \cap B)$ ：事象 $A$ が起きてかつ事象 $B$ が起きる確率
と何が違うのかと疑問に思ったので簡単にメモにまとめることにする．

当方は確率なーんも知らん（高校時代に数学Aの授業で確率の勉強をしたくらい）ので，メモに信頼性は無いので注意．

具体例

以下のような例で考えてみる．
事象 $A$ ：ある街で雷が落ちる事象
事象 $B$ ：ある街で雨が降る事象

まず事象 $B$ について考える．
ある街の天気を10日間分記録した．表にしてみると以下のようになった．
（雨が降らない=0，雨が降った=1とする．）

id	雨が降った
$x_1$	0
$x_2$	0
$x_3$	0
$x_4$	0
$x_5$	0
$x_6$	1
$x_7$	1
$x_8$	1
$x_9$	1
$x_{10}$	1

雨が降らなかった日が5日間，雨が降った日は5日間だ．

次に，これを図にしてみる．
f:id:Yuri-Processing-Club:20210926090136p:plain

なお，ある街で雨が降る事象 $B=\{x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}\}$ である．
また， $\bar{B}=\{ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}$ であり，
全事象 $U=B+\bar{B}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}\}$ である．

ここで， $B$ が起きる確率 $P(B)$ は，
$P(B)=\frac{n(B)}{n(U)}=\frac{5}{10}=0.5$
となることはすぐに分かる．（ $n(X)$ は $X$ の個数）

次に，雷が落ちる場合も合わせて考えると以下のようになった．

id	雷が落ちる	雨が降る
$x_1$	0	0
$x_2$	0	0
$x_3$	0	0
$x_4$	0	0
$x_5$	1	0
$x_6$	0	1
$x_7$	0	1
$x_8$	1	1
$x_9$	1	1
$x_{10}$	1	1

再度これを図にしてみる．

f:id:Yuri-Processing-Club:20210926090818p:plain

また，ある街で雷が落ちる事象 $A=\{x_5,x_8, x_9, x_{10}\}$
$\bar{A}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_6, x_7\}$
$U=A+\bar{A}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}\}$

$P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{4}{10}=0.4$

積事象

条件付き確率の前に，積事象 $P(A \cap B)$ についてまとめる．

雨が降ってかつ雷が落ちたのは，下図の青で塗った部分である．
f:id:Yuri-Processing-Club:20210926093123p:plain

$A \cap B=\{x_8, x_9, x_{10}\}$
$\overline{{A \cap B}}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6, x_7\}$
$U=A \cap B+\overline{A \cap B}=\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}\}$