s(t)=cos(2πft)のウィグナービレ分布を求めよ

ウィグナービレ分布とは？

ウィグナービレ分布とは時間周波数解析法の一種である．「解析信号 $z(t)=\mathcal{A}(s(t))$ のウィグナー分布」をウィグナービレ分布といい，ウィグナー分布と比較してクロス項の抑制が期待できる．

問題

$s(t)=\cos(2 \pi f_c t)$ のウィグナービレ分布を求めよ．

解法

まず解析信号 $z(t)$ を求める．
オイラーの公式より，
$s(t)=\cos(2 \pi f_c t) = \frac{1}{2} \left( \mathrm{e}^{j 2 \pi f t} + \mathrm{e}^{-j 2 \pi f t} \right)$

また， $\mathrm{e}^{j 2 \pi ft}$ の解析信号は
$\mathcal{A}(\mathrm{e}^{j 2 \pi ft})= \begin{cases} 0 \ \ (\mathrm{if} \ \ f < 0)\\ 2 \mathrm{e}^{j 2 \pi ft} \ \ (\mathrm{if} \ \ f > 0)\\ \end{cases}$
であるので，

$\begin{eqnarray*} z(t)&=&\mathcal{A}(s)=\frac{1}{2} \mathcal{A}(\mathrm{e}^{j 2 \pi f_c t})+\frac{1}{2} \mathcal{A}(\mathrm{e}^{-j 2 \pi f_c t})=\frac{1}{2} 2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c t}+\frac{1}{2}0\\ &=&\mathrm{e}^{j 2 \pi f_c t} \end{eqnarray*}$

また， $z^*(t)=\mathrm{e}^{-j 2 \pi f_c t}$ ．
よって，
$\begin{eqnarray*} z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) &=& \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c \left( t + \frac{\tau}{2} \right)} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_c \left( t - \frac{\tau}{2} \right)}\\ &=& \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c \frac{\tau}{2}} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f_c t} \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c \frac{\tau}{2}}\\ &=& \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c \tau} \end{eqnarray*}$

次に $z(t)$ のウィグナー分布（＝ウィグナービレ分布） $W_z(t, f)$ を計算する．
$\begin{eqnarray*} W_z(t, f)&=&\int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \int \mathrm{e}^{j 2 \pi f_c \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \delta(f-f_c) \end{eqnarray*}$
となり，計算終了である．

答え

$s(t)=\cos(2 \pi f_c t)$ のウィグナービレ分布 $W_z(t,f)$ は，
$W_z(t,f) = \delta(f-f_c)$

クロス項抑制

解析信号は周波数 $f_c$ の信号で負の周波数を持たないものであり，そのウィグナービレ分布は $W_z(t,f) = \delta(f-f_c)$ と期待通りのスペクトルを持つ．ウィグナー分布では $f=\pm f_c$ の中間の $f=0$ の部分にクロス項が出ていたが，ウィグナー分布は信号を解析信号に変換することで負のスペクトルを消したため， $2$ 信号の中間に出るクロス項の発生を抑制することができた．