Signal Kernelの計算方法

66-67ページから解説．

ある時間信号 $z(t)$ の時間-周波数表現 $\rho_z(t,f)$ があるとして， $\rho_z(t,f)$ を逆フーリエ変換したものを $K_z(t,\tau)$ と書く．ここで $K_z(t,\tau)$ をSignal Kernelと呼ぶことにする． $K_z(t,\tau)$ をフーリエ変換すると $\rho_z(t,f)$ になるわけだから，数式で書くと，
$\rho_z(t,f) = \int K_z(t,\tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$

ここで $K_z(t,\tau)$ はどのような形になるか．

ある信号 $z(t)$ の例として，解析信号 $z(t)=\mathrm{e}^{j \phi (t)}$ を考える．

瞬時周波数 $f_i (t) = \frac{\phi ' (t)}{2 \pi}$ より，

$\rho_z(t,f) = \delta (f - f_i(t))$ である．

例えば5秒時点において100Hzの部分にスペクトルがあるとすれば $\rho_z(5,100) = 1$ となるわけである．

$K_z(t,\tau)$ は $\rho_z(t,f) = \delta (f - f_i(t))$ の逆フーリエ変換なので，
$\begin{eqnarray*} K_z(t,\tau) &=& \int \rho_z(t,f) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau} df\\ &=& \int \delta (f - f_i(t)) \mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau} df\\ &=& \mathrm{e}^{j 2 \pi f_i(t) \tau}\\ &=& \mathrm{e}^{j \phi ' (t) \tau}\\ \end{eqnarray*}$

ここの計算は $\mathcal{F}^{-1} [ \delta (f - f_0) ] = \mathrm{e}^{j 2 \pi f_0 \tau}$ を使えば行ける．

さて，瞬時周波数 $\phi ' (t)$ だが，
$\displaystyle \phi ' (t) = \lim _{\tau \to 0} \frac{ \phi(t + \tau / 2) - \phi(t - \tau / 2)}{\tau}$
と書ける．これは中心有限差分などで検索すると色々出てくるが，ある点 $\phi(t)$ における傾き（ $=\phi ' (t)$ ）は， $\phi(t)$ の前後の $2$ 点 $\phi(t + \tau / 2)$ 及び $\phi(t - \tau / 2)$ を通る直線の傾きに等しい（ $\tau \to 0$ において）と言える．ここで $\phi ' (t)$ が直線ならば、言い換えると $\phi ' (t)$ が一次式（または定数）ならば，さらに言い換えると $\bf {\phi (t)}$ が二次式（または一次式）ならば， $\tau \to 0$ でなくても傾きは等しくなる．つまり，

$\phi ' (t) \approx \frac{ \phi(t + \tau / 2) - \phi(t - \tau / 2)}{\tau} \ \ (\mathrm{if} \ \ \phi (t) \mathrm{\ \ is \ \ quadratic \ \ or \ \ linear})$

これを代入すると，
$\begin{eqnarray*} K_z(t,\tau) &=& \mathrm{e}^{j \phi ' (t) \tau}\\ &=& \mathrm{e}^{j(\phi(t + \tau / 2) - \phi(t - \tau / 2))}\\ &=& \mathrm{e}^{j\phi(t + \tau / 2)}\mathrm{e}^{-j\phi(t + \tau / 2)}\\ &=& z(t+\tau / 2)z^*(t-\tau / 2) \end{eqnarray*}$

よって，
$\begin{eqnarray*} \rho_z(t,f) &=& \int K_z(t,\tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\ &=& \int z(t+\tau / 2)z^*(t-\tau / 2) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\ \end{eqnarray*}$