yProcessingClub

すみません、許してください

s(t)=cos(2πft)のウィグナー分布を求めよ

ウィグナー分布とは?

ウィグナー分布とは時間周波数解析法の一種である.

問題

s(t)=\cos(2 \pi f_c t)のウィグナー分布を求めよ.


解法

ウィグナー分布は以下で定義される.

W_s(t,f)=\int s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau


s(t)は実信号なので,s^*(t)=s(t)
よって,

s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) = s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)

s(t)=\cos(2 \pi f_c t)を代入して,

s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s\left(t-\frac{\tau}{2}\right) = \cos 2 \pi f_c \left(t+\frac{\tau}{2}\right) \cos 2 \pi f_c \left(t-\frac{\tau}{2}\right)


ここで\alpha = 2 \pi f_c \left( \tau + \frac{\tau}{2} \right)\beta = 2 \pi f_c \left( \tau - \frac{\tau}{2} \right)とおくと,
\alpha - \beta =  2 \pi f_c \tau\alpha + \beta =  2 \pi f_c  2t
加法定理: \cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2}を用いて,

 \cos 2 \pi f_c \left(t+\frac{\tau}{2}\right) \cos 2 \pi f_c \left(t-\frac{\tau}{2}\right) = \frac{1}{2}cos ( 2 \pi f_c \tau ) + \frac{1}{2}cos ( 2 \pi f_c 2t )


これをW_s(t,f)=\int s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tauに代入して,


\begin{eqnarray*}
W_s(t,f)&=&\int {\left( \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c \tau ) + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t ) \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau}\\
&=& \frac{1}{2} \int \cos ( 2 \pi f_c \tau )\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau +  \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t ) \int \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau
\end{eqnarray*}

ここで\cos(2 \pi f_c t)フーリエ変換\frac{\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)}{2}
1フーリエ変換\delta(f)より,


\begin{eqnarray*}
W_s(t,f)&=& \frac{1}{2}\frac{\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)}{2} + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)\\
&=& \frac{1}{4}\delta(f-f_c)  +  \frac{1}{4}\delta(f+f_c) + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)
\end{eqnarray*}
 
となり,計算終了である.



答え

s(t)=\cos(2 \pi f_c t)のウィグナー分布W_s(t,f)は,
W_s(t,f) = \frac{1}{4}\delta(f-f_c)  +  \frac{1}{4}\delta(f+f_c) + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)



クロス項

周波数f_cの信号であるので,両側スペクトルを考えると,f=\pm f_cにスペクトルがあるべきで,\frac{1}{4}\delta(f-f_c)及び\frac{1}{4}\delta(f+f_c)の項は期待通りである.しかし,\frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)という謎の項が出ている.これをクロス項といい,アーティファクトである.クロス項の発生個所を見ると,f=0の位置,つまりf=f_c及びf=-f_cの中間の部分にスペクトルが出ていることが分かる.このように,クロス項は信号と信号の中間の位置に出る.



yuri-processing-club.hatenablog.com