s(t)=cos(2πft)のウィグナー分布を求めよ

ウィグナー分布とは？

ウィグナー分布とは時間周波数解析法の一種である．

問題

$s(t)=\cos(2 \pi f_c t)$ のウィグナー分布を求めよ．

解法

ウィグナー分布は以下で定義される．
$W_s(t,f)=\int s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau$

$s(t)$ は実信号なので， $s^*(t)=s(t)$ ．
よって，
$s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) = s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)$

$s(t)=\cos(2 \pi f_c t)$ を代入して，
$s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s\left(t-\frac{\tau}{2}\right) = \cos 2 \pi f_c \left(t+\frac{\tau}{2}\right) \cos 2 \pi f_c \left(t-\frac{\tau}{2}\right)$

ここで $\alpha = 2 \pi f_c \left( t + \frac{\tau}{2} \right)$ ， $\beta = 2 \pi f_c \left( t - \frac{\tau}{2} \right)$ とおくと，
$\alpha - \beta = 2 \pi f_c \tau$ ， $\alpha + \beta = 2 \pi f_c 2t$
加法定理： $\cos \alpha \cos \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)}{2}$ を用いて，

$\cos 2 \pi f_c \left(t+\frac{\tau}{2}\right) \cos 2 \pi f_c \left(t-\frac{\tau}{2}\right) = \frac{1}{2}cos ( 2 \pi f_c \tau ) + \frac{1}{2}cos ( 2 \pi f_c 2t )$

これを $W_s(t,f)=\int s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau$ に代入して，

$\begin{eqnarray*} W_s(t,f)&=&\int {\left( \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c \tau ) + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t ) \right) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau}\\ &=& \frac{1}{2} \int \cos ( 2 \pi f_c \tau )\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t ) \int \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau \end{eqnarray*}$

ここで $\cos(2 \pi f_c t)$ のフーリエ変換は $\frac{\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)}{2}$
$1$ のフーリエ変換は $\delta(f)$ より，

$\begin{eqnarray*} W_s(t,f)&=& \frac{1}{2}\frac{\delta(f-f_c) + \delta(f+f_c)}{2} + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)\\ &=& \frac{1}{4}\delta(f-f_c) + \frac{1}{4}\delta(f+f_c) + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f) \end{eqnarray*}$ 　
となり，計算終了である．

答え

$s(t)=\cos(2 \pi f_c t)$ のウィグナー分布 $W_s(t,f)$ は，
$W_s(t,f) = \frac{1}{4}\delta(f-f_c) + \frac{1}{4}\delta(f+f_c) + \frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)$

クロス項

周波数 $f_c$ の信号であるので，両側スペクトルを考えると， $f=\pm f_c$ にスペクトルがあるべきで， $\frac{1}{4}\delta(f-f_c)$ 及び $\frac{1}{4}\delta(f+f_c)$ の項は期待通りである．しかし， $\frac{1}{2}\cos ( 2 \pi f_c 2t )\delta(f)$ という謎の項が出ている．これをクロス項といい，アーティファクトである．クロス項の発生個所を見ると， $f=0$ の位置，つまり $f=f_c$ 及び $f=-f_c$ の中間の部分にスペクトルが出ていることが分かる．このように，クロス項は信号と信号の中間の位置に出る．