2信号のウィグナービレ分布を求めよ(一般化)

107-108ページから解説．

yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事では $z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}$ のウィグナービレ分布を求めた．

今回は一般化して， $z(t)=z_1(t)+z_2(t)$ のウィグナービレ分布を求めてみる．

問題

$z(t)=z_1(t)+z_2(t)$ のウィグナービレ分布を求めよ．

解法

まずSignal Kernel, Instantaneous Autocorrelation Function(IAF) $K_z(t, \tau)$ を求める．

$\begin{eqnarray*} K_z(t, \tau)&=&z \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z^* \left( t-\frac{\tau}{2} \right) \\ &=& \left( z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) + z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) \right) \left( z^*_1 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) + z^*_2 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) \right)\\ &=& z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_1 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) + z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_2 \left(t-\frac{\tau}{2} \right)\\ && + z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_2 \left(t-\frac{\tau}{2} \right) + z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right) z^*_1 \left(t-\frac{\tau}{2} \right)\\ &=& K_{z_1}(t, \tau) + K_{z_2}(t, \tau) + K_{{z_1}{z_2}}(t, \tau) + K_{{z_2}{z_1}}(t, \tau) \end{eqnarray*}$

この時点で $K_{z_1}(t, \tau)$ 及び $K_{z_1}(t, \tau)$ は信号成分， $K_{{z_1}{z_2}}(t, \tau)$ 及び $K_{{z_2}{z_1}}(t, \tau)$ はクロス成分であることが分かる．

ウィグナービレ分布 $W_z(t,f)$ は $K_z(t, \tau)$ を $\tau \to f$ でフーリエ変換することで求められる．
$\begin{eqnarray*} W_z(t, f)&=& \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_z(t, \tau) \}\\ &=& \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_1}(t, \tau) \} + \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_2}(t, \tau) \} \\ &&+ \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_1 z_2}(t, \tau) \} + \mathcal{F}_{\tau \to f} \{ K_{z_2 z_1}(t, \tau) \}\\ &=& W_{z_1}(t, f) + W_{z_2}(t, f) + W_{z_1 z_2}(t, f) + W_{z_2 z_1}(t, f) \end{eqnarray*}$

ここで終わってもいいと思うが，クロス項である $W_{z_1 z_2}(t, f)$ と $W_{z_2 z_1}(t, f)$ をまとめてみる．

積分の $\infty$ と $-\infty$ を省略せずに書く．
$W_{z_1 z_2}(t, f)=\int ^{\infty} _{-\infty} z_1 \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z_2 ^* \left( t-\frac{\tau}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau$
$W_{z_2 z_1}(t, f)=\int ^{\infty} _{-\infty} z_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z_1 ^* \left( t-\frac{\tau}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau$

次に $W_{z_2 z_1}(t, f)$ の複素共役を取ると，
$\begin{eqnarray*} [ W_{z_2 z_1}(t, f) ]^* &=& \int ^{\infty} _{-\infty} z^*_2 \left(t+\frac{\tau}{2} \right)z_1 \left( t-\frac{\tau}{2} \right)\mathrm{e}^{j 2 \pi f \tau}d\tau\\ \end{eqnarray*}$

$\tau = - \mu$ と置くと，積分範囲は $-\infty \sim \tau \sim \infty$ から $\infty \sim \mu \sim -\infty$ ， $d\mu = - d\tau$ となるので，
$\begin{eqnarray*} [ W_{z_2 z_1}(t, f) ]^* &=& - \int ^{-\infty} _{\infty} z^*_2 \left(t-\frac{\mu}{2} \right)z_1 \left( t+\frac{\mu}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \mu}d\mu\\ &=& \int ^{\infty} _{-\infty} z^*_2 \left(t-\frac{\mu}{2} \right)z_1 \left( t+\frac{\mu}{2} \right)\mathrm{e}^{-j 2 \pi f \mu}d\mu\\ &=& W_{z_1 z_2}(t, f) \end{eqnarray*}$

よって，
${\rm{Re}} \left( W_{z_2 z_1}(t, f) \right) = {\rm{Re} } \left( W_{z_1 z_2}(t, f) \right)$
${\rm{Im}} \left( W_{z_2 z_1}(t, f) \right) = - {\rm{Im}}\left( W_{z_1 z_2}(t, f) \right)$