yProcessingClub

すみません、許してください

LFM信号のウィグナー分布を求めよ

信号処理


yuri-processing-club.hatenablog.com
以前の記事ではs(t)= \cos \left( 2 \pi f_c t \right)のウィグナー分布を求めた．
これは周波数がf_cで一定の場合であった．

今回は周波数が変調する場合を考える．



問題

s(t)=A \cos \left( 2 \pi \left( f_0 t + \frac{\alpha}{2}t^2 \right) \right)
のウィグナー分布を求めよ．




解法

Signal Kernel K_s(t,\tau)=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)を求める．
まずs\left(t+\frac{\tau}{2}\right)を求める．

\begin{eqnarray*} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) &=& A \cos 2 \pi \left( f_0 \left( t + \frac{\tau}{2} \right) + \frac{\alpha}{2} \left( t + \frac{\tau}{2} \right) ^2 \right)\\ &=& A \cos 2 \pi \left( f_0 t + f_0 \frac{\tau}{2} + \frac{\alpha}{2} t^2 + \frac{\alpha}{2} \tau t + \frac{\alpha}{2} \frac{\tau ^2}{4} \right)\\ &=& A \cos 2 \pi \left( \left( \frac{\alpha}{2} \frac{\tau ^2}{4} + f_0 t + \frac{\alpha}{2} t^2 \right) + \left( f_0 \frac{\tau}{2} + \frac{\alpha}{2} \tau t \right) \right) \\ &=& A \cos 2 \pi \left( \frac{ \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 }{2} + \frac{ \left( f_0 + \alpha t \right) \tau }{2} \right) \\ \end{eqnarray*}

同様にして，
\begin{eqnarray*} s\left(t-\frac{\tau}{2}\right) &=& A \cos 2 \pi \left( \frac{ \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 }{2} - \frac{ \left( f_0 + \alpha t \right) \tau }{2} \right) \\ \end{eqnarray*}

ここで三角関数の和積の定理（と言うらしい）によると

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\\ \iff \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{\cos x + \cos y}{2}
これを用いて，

\begin{eqnarray*} K_s(t,\tau)&=&s\left(t+\frac{\tau}{2}\right) s\left(t-\frac{\tau}{2}\right)\\ &=& A^2 \frac{\cos 2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 \right) + \cos 2 \pi \left( f_0 + \alpha t \right)\tau}{2}\\ &=& \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi \left( f_0 + \alpha t \right)\tau + \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 \right) \\ &=& \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi f_i(t) \tau + \frac{A^2}{2} \cos 2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 \right) \end{eqnarray*}

ここでf_i(t)= f_0 + \alpha tである．


よって，ウィグナー分布は，
\begin{eqnarray*} \mathcal{W}_s (t, f) &=& \int K_s(t,\tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\ &=& \frac{A^2}{4} \delta \left( f - f_i(t)\right) + \frac{A^2}{4} \delta \left( f + f_i(t)\right)\\ && + \frac{A^2}{2} \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cos 2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 \right) \right]\\ \end{eqnarray*}
となり，計算終了である．

ここで \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cdot \right]は\tauに関するフーリエ変換である．これ以上計算するのは今の自分の能力ではむーりぃなので，後日再挑戦する．



クロス項

\frac{A^2}{2} \mathcal{F} _{\tau \to f}\left[ \cos 2 \pi \left( \frac{ \alpha \tau ^2}{4} + 2 f_0 t + \alpha t^2 \right) \right]はクロス項（本来信号に無い成分）である．

クロス項の形だが，おそらくだけど，\cos 2 \pi \frac{\alpha \tau^2}{4}の部分はガウス関数的なやつなので，これのフーリエ変換もガウス関数的なやつになり，\cos 2 \pi \left( 2 f_0 t + \alpha t^2 \right)の部分も合わせて考えると，クロス項は時間変化によって形が変化するようなガウス関数的なやつになると思われる・・・？

上でも話したが，ここの計算は後日再挑戦する．