yProcessingClub

すみません、許してください

振幅一定,周波数一定の2信号の曖昧度関数を求めよ

曖昧度関数とは?

曖昧度関数(Ambiguity function,不確定性関数)はウィグナービレ分布に似た形の式である.

A_z(\nu, \tau) =\int z\left(t+\frac{\tau}{2}\right)z^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
と定義される.

また,Signal Kernel K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)を用いて,

A_z(\nu, \tau)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
とも書ける.


ウィグナービレ分布

W_z(t, f)=\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau}d\tau\\
と比較すると,
Signal Kernel K_z(t, \tau) = z \left( t + \frac{\tau}{2} \right) z^* \left( t - \frac{\tau}{2} \right)
t \to \nuで逆フーリエ変換するのが曖昧度関数
\tau \to fフーリエ変換するのがウィグナービレ分布
である.

\tau\nuはそれぞれ時間的,周波数的なナニカであり,
これらをlag(or time shift),doppler(or frequency shift)と言う.


問題

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}の曖昧度関数を求めよ.



解法

yuri-processing-club.hatenablog.com

この記事より,
z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}のSignal Kernelは,
K_z(t,\tau) =  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}



\begin{eqnarray*}
&&A_z(\nu, \tau)\\
&=&\int K_z(t, \tau) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&=& \int \left( A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau} 
 + 2 A_1 A_2 \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau} \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&=&  A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \int \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \int \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&&+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \int \cos \left( 2\pi \left( f_2 - f_1 \right) t \right) \mathrm{e}^{j 2 \pi \nu t}dt\\
&=& A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \delta (\nu) + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)\\
\end{eqnarray*}
となり計算終了である.



解答

z(t)= A_1 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1 t} + A_2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2 t}の曖昧度関数は

A_z(\nu, \tau) = A_1^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_1  \tau} \delta (\nu) + A_2^2 \mathrm{e}^{j 2 \pi f_2  \tau}  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \mathrm{e}^{j 2 \pi \left( \frac{f_1+f_2}{2}\right) \tau}  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)



曖昧度関数のグラフ

曖昧度関数のグラフを描く.複素数となっていてこのままではグラフを描くのは無理なので,絶対値を取って,
A_1^2  \delta (\nu) + A_2^2  \delta (\nu)+ 2 A_1 A_2  \delta \left(\nu +  \left( f_2 - f_1 \right) \right)
のグラフを描いてみると,下のようになる.
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曖昧度関数では,信号は原点を通り,クロス項は原点を通らないことが分かる.