yProcessingClub

すみません、許してください

LFM信号のウィグナービレ分布


71ページから解説.


yuri-processing-club.hatenablog.com
ここと併せて読まれたし.



上の記事では信号としてz(t)=\mathrm{e}^{j \phi (t)}を考えた.

今回は振幅が時間変化する信号z(t)=A(t)\mathrm{e}^{j \phi (t)}を考える.

Signal Kernelは

\begin{eqnarray*}
K_z(t,\tau) &=& z(t+\tau/2)z^*(t-\tau/2)\\
&=& A(t+\tau/2)\mathrm{e}^{j \phi (t+\tau/2)} A(t-\tau/2)\mathrm{e}^{-j \phi (t-\tau/2)}\\
&=& A(t+\tau/2) A(t-\tau/2) \mathrm{e}^{j \phi (t+\tau/2)}\mathrm{e}^{-j \phi (t-\tau/2)}\\
&=& A(t+\tau/2) A(t-\tau/2) \mathrm{e}^{j (\phi (t+\tau/2) - \phi (t-\tau/2))}\\
&=& K_A(t,\tau)\mathrm{e}^{j\psi(t,\tau)}
\end{eqnarray*}

ここで\phi(t)が二次式ならば,limの近似が行え,
\psi (t, \tau) = \phi ' (t) \tau = 2 \pi f_i (t) \tauである.

よって,
K_z(t,\tau) =K_A(t,\tau)\mathrm{e}^{j2 \pi f_i (t) \tau}

これをフーリエ変換したものがウィグナービレ分布であるから,

\begin{eqnarray*}
W_z(t,f) &=& \int K_z(t,\tau) \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\
&=& \int K_A(t,\tau)\mathrm{e}^{j2 \pi f_i (t) \tau} \mathrm{e}^{-j 2 \pi f \tau} d\tau\\
&=& \int K_A(t,\tau)\mathrm{e}^{-j2 \pi (f - f_i (t)) \tau} d\tau\\
&=& \mathcal{W}_A(t, f-f_i(t))
\end{eqnarray*}

(区別のため,ウィグナービレ分布をW,ウィグナー分布を\mathcal{W}と書く)