瞬時周波数についてのふわっとした解釈

記憶の整理のためにメモ．
記事の正しさに責任は持ちません．

追記。
↓qiitaに記事を投稿した。ブログ記事の焼き直しだが、より詳しく書いてるので良かったら見て欲しい。
qiita.com

瞬時周波数とは？

ある信号（音響信号など）の周波数の時間変化（変調と言ったりする）を調べたい欲求がある人もいるだろうが，そういうのを調べるのを時間周波数解析という．時間周波数解析において一番知りたいのは「（目的の信号の）周波数の時間変化」であり，これは位相を時間微分することで求められ，これを瞬時周波数と呼ぶことにする．（速度の時間変化は速度を微分すると求められ，これはどうやら加速度と言うらしいのだが，位相を微分したものは瞬時周波数と言う．）

簡単にまとめると，

ある一瞬の周波数を知りたい
　↓
位相を時間微分する

という素朴な考え方だ．

周波数が一定の信号

周波数が時間変化する信号を考える前に，
まず周波数が一定の信号を考える．

振幅 $1$ ，周波数 $f_0$ （一定）である信号 $s(t)$
$s(t)=\cos(2 \pi f_0 t)$
ここで位相 $2 \pi f_0 t$ を微分すると $2 \pi f_0$ であり，瞬時周波数は時間変化せず、周波数が一定であることを再確認できる．

周波数が時間変化する信号

次に周波数が時間変化する信号を考える．
瞬時周波数を $f'(t)$ で表す．

$t=0[\mathrm s$ ]で $f'(0)=1000[\mathrm {Hz}$ ]，
$t=10[\mathrm s$ ]で $f'(10)=5000[\mathrm {Hz}$ ]，
と周波数が線形変化する場合，
瞬時周波数の時間-周波数グラフは以下のようになる．

このグラフの式は
$\begin{eqnarray*} f'(t)&=&\frac{5000-1000}{10-0}t + 1000\\ &=&400t+1000 \end{eqnarray*}$

周波数の時間変化を見るには位相を微分すれば良かったので，逆向きに考えると，このような周波数の時間変化を持つ位相は $f'(t)$ を積分すれば求められる．

$\begin{eqnarray*} f(t)&=&\int f'(t)dt\\ &=&\int (400t+1000)dt\\ &=&200t^2+1000t \end{eqnarray*}$

これを $\cos()$ の中に入れると，
周波数が時間変化する信号
$s(t)=\cos(2\pi(200t^2+1000t))$
が出来上がる．
このスペクトログラムを求めると，

となり，期待通りの信号となった．

ちなみに，このように線形に周波数が変調する信号をLFM信号(Linear Frequency Modulated Signal，線形周波数変調信号)とか線形チャープ信号と言ったりする．

別の例

瞬時周波数が
$g'(t) = 500\sin(2 \pi t) + 500t + 3000$
となる信号を考える．
$g'(t)$ のグラフは以下．

これも $g'(t)$ を積分して，
$g(t) = \int g'(t)dt = -\frac{500}{2 \pi} \cos(2 \pi t) + 250t^2 + 3000t$
であり，これを $\cos()$ に入れて，
信号 $s(t)=\cos\left( 2 \pi \left( -\frac{500}{2 \pi} \cos(2 \pi t) + 250t^2 + 3000t \right) \right)$ が出来上がる．
このスペクトログラムは

となって期待通りである．