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TIME-FREQUENCY ANALYSIS Example 1.1

信号処理

TIME-FREQUENCY ANALYSISの例題を解き進める．

Example 1.1

\begin{eqnarray*} s(t) = (\alpha / \pi)^{1/4} \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2/2+j\varphi(t)} \end{eqnarray*}
の標準偏差\sigma_tを求めよ．



解答

{\sigma_t}^2 = \langle t^2 \rangle - \langle t \rangle^2より，
\langle t^2 \rangleと\langle t \rangleをそれぞれ求める．

\langle t \rangleの導出

\langle t \rangleは以下で与えられる．
\begin{eqnarray*} \langle t \rangle &=& \int t | s(t) |^2dt \end{eqnarray*}

まず | s(t) | を求める．
\begin{eqnarray*} | s(t) | &=& | (\alpha / \pi)^{1/4} \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2/2+j\varphi(t)} |\\ &=& | (\alpha / \pi)^{1/4}| |\mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2/2} || \mathrm{e}^{j\varphi(t)} |\\ &=& (\alpha / \pi)^{1/4}\mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2/2} \end{eqnarray*}
（※ | \mathrm{e}^{j\varphi(t)} | = \sqrt{\mathrm{e}^{j\varphi(t)}\mathrm{e}^{-j\varphi(t)}}=1）

\begin{eqnarray*} \langle t \rangle &=& \int t | s(t) |^2dt\\ &=& \int t ( (\alpha / \pi)^{1/4}\mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2/2} )^2dt\\ &=& \int t ( (\alpha / \pi)^{1/2}\mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} )dt\\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int t \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt \end{eqnarray*}

次に\int t \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dtを解く．
次のように変形する．
\int t \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt=\int (t-t_0) \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt + t_0 \int \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt
右辺第一項を解く．
t-t_0=vと置くと，
\int (t-t_0) \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt = \int v \mathrm{e}^{-\alpha v^2} dv
vは奇関数，\mathrm{e}^{-\alpha v^2}は偶関数なので，v \mathrm{e}^{-\alpha v^2}は奇関数．
よって， \int v \mathrm{e}^{-\alpha v^2} dv = 0となる．
次に右辺第二項を解くのだが，
ガウス積分の公式から\int \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}なので，
t_0 \int \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt = t_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
以上より，
\int t \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt = t_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}

以上より，
\begin{eqnarray*} \langle t \rangle &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int t \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt\\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} t_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\\ &=& t_0 \end{eqnarray*}

\langle t^2 \rangleの導出

\langle t^2 \rangleは以下で与えられる．
\begin{eqnarray*} \langle t^2 \rangle &=& \int t^2 | s(t) |^2dt \end{eqnarray*}
\langle t \rangleを導出した際の結果を用いて，
\begin{eqnarray*} \langle t^2 \rangle &=& \int t^2 | s(t) |^2dt &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int t^2 \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt \end{eqnarray*}

\int t^2 \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dtのところを解く．
\begin{eqnarray*} \int t^2 \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt &=& \int (t-t_0)^2 \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2}dt + 2t_0 \int t \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2}dt - {t_0}^2 \int \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2}dt\\ &=& \frac{1}{2\alpha} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} +2t_0 \times t_0 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} - {t_0} ^2 \times \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\\ &=&\frac{1}{2\alpha} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} + {t_0} ^2 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{eqnarray*}
（ガウス積分より　\int (t-t_0)^2 \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2}dt = \int v^2 \mathrm{e}^{-\alpha v^2}dv = \frac{1}{2\alpha} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}を用いた）


よって，
\begin{eqnarray*} \langle t^2 \rangle &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\int t^2 \mathrm{e}^{-\alpha(t-t_0)^2} dt\\ &=& \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \left( \frac{1}{2\alpha} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} + {t_0} ^2 \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \right)\\ &=& \frac{1}{2\alpha} +{t_0} ^2 \end{eqnarray*}


以上より，
\begin{eqnarray*} {\sigma_t}^2 &=& \langle t^2 \rangle - \langle t \rangle^2\\ &=&\frac{1}{2\alpha} +{t_0} ^2 - {t_0} ^2\\ &=& \frac{1}{2\alpha} \end{eqnarray*}