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すみません、許してください

【信号処理基礎】実信号の解析信号への変換方法

自分用メモ.計算が合ってるかは自信が無い.
何かあればコメントいただけるとありがたいです.

時間周波数解析手法の一種であるウィグナー分布において,正負の周波数成分を持つ信号や二つ以上の成分から成る信号を分析してみると,その中間部分にスペクトルが発生し,これをクロス項という.本来信号が無いはずの部分にスペクトルが出ているのはよろしくない(そのためクロス項を抑制するような研究が多くなされている).クロス項抑制のためには実信号を負の周波数を含まないような複素信号に変換してからウィグナー分布の計算を行う.負の周波数を含まない複素信号を解析信号という.今回は実信号から解析信号に変換する計算方法を詳しく書く.

解析信号をz(t),実信号をg(t)g(t)フーリエ変換G(\omega)とする.


\begin{eqnarray*}
z(t) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega\\
 &=& 2 \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega\\
 &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} 
\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \mathrm{e}^{-j \omega k} dk
 \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega\\
 &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} 
\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \mathrm{e}^{j \omega (t-k)} dkd\omega\\
&=& \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(k) \left( \pi \delta(t-k) + \frac{j}{t-k} \right) dk\\
&=& \int_{-\infty}^{\infty} g(k) \delta(t-k)  dk + \frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{g(k)}{t-k}  dk \\
&=& g(t) + \frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(k)}{t-k} dk \\
&=& g(t)+j\mathcal{H}(g(t))
\end{eqnarray*}



更に詳しい説明.

これは普通の逆フーリエ変換である.
z(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega

次に負の周波数を消し去る.ここの計算が本質部分である.
\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega =
2 \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega=
 \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega

次にG(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \mathrm{e}^{-j \omega k} dkとして入れる.
 
 \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} G(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
=
\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} 
\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \mathrm{e}^{-j \omega k} dk
 \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega

 \mathrm{e}^{-j \omega k}\mathrm{e}^{j \omega t}をくっつけて,積分順序を入れ替える.

\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} 
\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \mathrm{e}^{j \omega (t-k)} dkd\omega
=
\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} 
g(k) \int_{0}^{\infty}  \mathrm{e}^{j  \omega(t-k)} d\omega dk

内側の\int_{0}^{\infty}  \mathrm{e}^{j  \omega(t-k)} d\omegaを計算するが,ここで

\begin{equation}
\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{j \omega x} d\omega= \pi \delta(x) + \frac{j}{x}
\end{equation}
を用いる.(この計算はここでは詳しく計算しない.結果だけ用いる.)
\int_{0}^{\infty}  \mathrm{e}^{j  \omega(t-k) } d\omega= \pi \delta(t-k) + \frac{j}{t-k}

内側の積分結果を元の式に代入して,第一項と第二項を分離する.

\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} g(k) \left( \pi \delta(t-k) + \frac{j}{t-k} \right) dk=
\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \left(\delta(t-k) \right) dk + \frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(k)}{t-k}  dk

第一項の\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \delta(t-k)  dkkについての積分だが,k=tの時のみ\delta=1なので,
\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \delta(t-k)  dk=g(t)

第二項の\frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{g(k)}{t-k}  dkだが,\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(k)}{t-k}  dkの部分はヒルベルト変換なので,
\frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(k)}{t-k} dk = j\mathcal{H}(g(t))と書く.

以上をまとめて,
z(t) =g(t)+j\mathcal{H}(g(t))

となる.




参考