SN比計算　SN比から信号の大きさを逆算する

シミュレーション等で信号にノイズを重畳する際、SN比を指定したいことがあると思われる。
検索しても出てこなかったので、自分で記事を書いてみようと思う。
合ってるかは知りません。

[2018/11/11追記ここから]
合っているかは知らないと書いたが、おそらく合っていない（途中計算が）。
yuri-processing-club.hatenablog.com
ここに書いた通りであるが、離散信号の積分計算をする場合、 $T_s$ を掛ける必要がある。ただし $P_s/P_n$ を計算する際に分母分子にある $T_s$ が約分されて消えるので、 $T_s$ があってもなくても結果は変わらないはず。そして今回は $T_s=1$ として正規化していることにして、以降の説明は特に修正しないものとする。
[2018/11/11追記ここまで]

SN比が任意の値になるように雑音を $a$ 倍する。
この係数 $a$ を求めるものとする。

まず、元のSN比を求めてみる。

サンプル数 $K$ 個の信号 $s\left[k\right]$ 及びノイズ $n\left[k\right]$ として $(k=0,1,2,\cdots,K-1)$ 、
$\bf s \rm = [s [ 0 ] \ s [ 1 ] \ s [ 1 ] \ \cdots \ s [ K-1 ]]$
$\bf n \rm = [n [ 0 ] \ n [ 1 ] \ n [ 1 ] \ \cdots \ n [ K-1 ]]$

2乗して、
$\bf s^2 \rm = [s [ 0 ]^2 \ s [ 1 ]^2 \ s [ 1 ]^2 \ \cdots \ s [ K-1 ]^2]$
$\bf n^2 \rm = [n [ 0 ]^2 \ n [ 1 ]^2 \ n [ 1 ]^2 \ \cdots \ n [ K-1 ]^2]$

各要素を足し合わせるとパワー $P_s$ 及び $P_n$ が求まる。
$P_s = \sum \bf s^2 \ \rm = \displaystyle \sum _{k=0} ^{K-1} s [ k ] ^2 = s [0 ]^2 + s [1 ]^2 + s [2 ]^2 + \cdots + s [K-1 ]^2$

$P_n = \sum \bf n^2 \ \rm = \displaystyle \sum _{k=0} ^{K-1} n [ k ] ^2 = n [0 ]^2 + n [1 ]^2 + n [2 ]^2 + \cdots + n [K-1 ]^2$

SN比は以下の通り。

$SNR_{original} = 10\log (\frac{P_s}{P_n})$

次にノイズ $\bf n$ を $a$ 倍したものを $\bf n_{sc}$ として、 $\bf s$ と $\bf n_{sc}$ のSN比が指定した値となるような係数 $a$ を求める。
$\bf n_{sc} \rm = a \bf n$

パワー $P_{n_{sc}}$ は

$P_{n_{sc}} = \sum \bf n_{sc} ^2 = \rm \sum a^2 \bf n^2 \ \rm = a ^2 \sum \bf n^2 \rm = \displaystyle a ^2 P_n$

SN比は以下の通り。

$SNR = 10\log(\frac{P_s}{P_{n_{sc}}}) = 10\log (\frac{P_s}{a ^2 P_n}) = 10\log (\frac{P_s}{P_n}) - 10\log a^2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = SNR_{original} - 10\log a^2$

ここから $a$ を求めていく。

$10\log a^2 = SNR_{original} - SNR \\ \ \ 20\log a = SNR_{original} - SNR \\ \ \ \ \ \ \ \log a = \frac{SNR_{original} - SNR}{20}\\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a = 10^{\frac{SNR_{original} - SNR}{20}}$